Вопрос пользователя:
дана функция у = 0,5х в 4 степени – 4х в квадрате. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]
Илюха отвечает:
у = 0,5х⁴ – 4х²
у’ = 2х³ – 8х
Найдём точки, где у’ = 0
2х³ – 8х = 0
2х·(х² – 4) = 0
х₁ = 0 или х₂,₃ = ±2
1) Найдём интервалы монотонности, для этого разобьём ось х на интервалы и определим знаки производной в этих интервалах
———– -2 ————–0————— 2 ———-
у'(-3) = 2·(-27) – 8·(-3) = -30 у’ < 0, у убывает
у'(-1) = 2·(-1) – 8·(-1) = 6 у’ > 0, у возрастает
у'(1) = 2·1 – 8·1 = -6 у’ < 0, у убывает
у'(3) = 2·27 – 8·3 = 30 у’ > 0, у возрастает
Итак, промежутки возрастания и убываня функции:
Функция возрастает при х∈[-2, 0] и [2, +∞)
Функция убывает при х∈(-∞, -2] и [0, 2]
2) Найдём точки локальных экстремумов и экстремальные значения функции.
В точке х = -2 производная меняет знак с – на +, поэтому это точка минимума
В точке х = 0 производная меняет знак с + на -, поэтому это точка максимума
В точке х = 2 производная меняет знак с – на +, поэтому это точка минимума
y min 1 = y(-2) = 0,5·16 – 4·4 = -8
y min 2 = y(2) = 0,5·16 – 4·4 = -8
y max = y(0) = 0,5·0 – 4·0 = 0
3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]
На концах интервала функция принимает значения:
у(-1) = 0,5·1 – 4·1 = -3,5
у(3) = 0,5·81 – 4·9 = 4,5
В указанном интервале [-1;3] мы имеем один локальный максимум
y max = y(0) = 0
и один локальный минимум
y min = y(2) = -8
Сравнивая все четыре значения функции, видим, что
у наиб = у(3) = 4,5
у наим = y(2) = -8