Вопрос от посетителя:
Дана трапеция ABCD,основание которой BC=44,AD=100,AB=CD=35.Окружность, касающаяся прямыхAD и AC ,касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK
Илюха отвечает:
Проведем дополнительно высоту СМ. Так как трапеция ранобедренная, очевидно, что отрезок DM = (AD-BC)/2 = 28. Тогда из прям. тр-ка CDM:
СМ = кор(CD^2-MD^2) = кор(35^2 – 28^2) = 21.
Теперь рассмотрим прям. тр-ик АСМ: В нем АМ = AD-MD = 100-28=72
Найдем АС: АС = кор(АМ^2 + CM^2) = кор( 72^2 + 21^2) = 75.
Итак в треуг. АСD известны все стороны: AC = 75, CD = 35, AD = 100.
Найдем cosACD = cosx = (AC^2 + CD^2 – AD^2)/(2*AC*CD) (по теореме косинусов).
cosx = (75^2 + 35^2 – 100^2) / (2*75*35) = – 0,6 (угол ACD – тупой), тогда:
sinx = кор(1-cos^2(x)) = 0,8, тогда по известной формуле тригонометрии найдем тангенс половинного угла:
tg(x/2) = sinx / (1+ cosx) = 0,8/0,4 = 2, (1)
Центр О вписанной в ACD окружности лежит на т. пересечения биссектрис углов тр. ACD. ОК перпенд. CD (ОК = r – радиус впис. окр), СК = ?
Из прям. тр-ка СОК: СК = r/(tg(x/2)). (2)
Найдем r:
Найдем сначала площадь тр-ка ACD:
S = (1/2)AC*CD*sinx = (75*35*0,8)/2 = 1050
С другой стороны S = pr, где р = (100+75+35)/2 = 105 – полупериметр.
Находим r, приравняв выражения для площадей:
105r = 1050
r = 10 (3)
Подставив (1) и (3) в (2), получим искомое значение СК:
СК = 10/2 = 5
Ответ: 5