Готов отдать все свои пункты за правильное решение следующей задачи:   Докажите, что для любых положительных a и b выполнено неравенство:     Задача несложная, но тем не менее…   Edit: и ещё вопрос, найдите все положительные значения a и b, при которых неравенство обращается в равенство (естественно с доказательством).

от

Вопрос от посетителя:

Готов отдать все свои пункты за правильное решение следующей задачи:

 

Докажите, что для любых положительных a и b выполнено неравенство:

 

(a+b)^3geq frac{27}4a^2b

 

Задача несложная, но тем не менее…

 

Edit: и ещё вопрос, найдите все положительные значения a и b, при которых неравенство обращается в равенство (естественно с доказательством).

Илюха отвечает:

Разделим обе части указанного неравенства на положит. число a^3 и сделаем замену переменной: t = b/a > 0:

(1+t)^3geqfrac{27t}{4};

Раскроем куб суммы и домножив на 4, получим:

4t^3+12t^2-15t+4geq0;

Многочлен в левой части раскладывается на множители по стандартной процедуре. Подбором устанавливается целый корень:  -4, далее делением многочлена на (t+4) получим (2t-1)^2  и полное разложение имеет вид:

(2t-1)^2(t+4)geq0;

Видим, что при t>0 указанное неравенство верно, что и требовалось доказать.

Равенство 0 достигается при t = 1/2, то есть при любых положительных a и b, отвечающих условию: a = 2b

Добавить свой ответ