Вопрос от посетителя
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна X. Проекция вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему как больший ко всей гипотенузе. Определить площадь треугольника
Отвечает Илюха:
Неожиданно полезная задача.
Я СПЕЦИАЛЬНО решаю без привлечения тригонометрических функций. Обозначим катеты треугольника y и z, а отрезки гипотенузы u и v. Высота делит треугольник на два ему подобных.
Тогда
u/v = v/x;
Из подобия
z/x = v/z; v = z^2/x;
y/x = u/y; u = y^2/x;
Подставляем
y^2/z^2 = z^2/x^2; y/z = z/x; y = z^2/x = (x^2 – y^2)/x;
Обозначим t = y/x (это, конечно же синус угла, противоположного катету y, но в данном случае это “высшее” знание:) не нужно для решения)
t = 1 – t^2; t^2 + t – 1 = 0; t1 = (корень(5) – 1)/2; второй отрицательный. (Что то мне подсказывает, что тут есть угол в 36 градусов :))
Итак,
y = x*(корень(5) – 1)/2;
вспоминаем, что z^2 = y*x, поэтому
z = x*корень((корень(5) – 1)/2);
Площадь равна (1/2)*y*z = (1/4)*x^2*(корень(5) – 1)*корень((корень(5) – 1)/2);
Ну, что поделаешь.