Вопрос от посетителя:
В треугольнике ABC AB=4, BC=7, AC=9. Найдите:а) OH ( О-центр опис. окр., H-точка пересечения высот)б) площадь отротреугольника (вершины которого являются основаниями высот)
как я помню точка пересечения высот и есть ц. опис окружности =-= ужс… думаю разумнее О – как ц. впис. окружности взять ну или как в ваших соображениях наиболее будет актуально)))
Илюха отвечает:
Точка пересечения высот никак не является центром описанной окр-ти. Центром этой окр-ти является точка пересечения срединных перпендикуляров. Точки Н и О совпадают только для правильного(равностороннего) треугольника. Так что с условием все в порядке.
Вложения не проходят. Поэтому подробное решение высылаю по почте. Здесь отмечу ключевые моменты.
Решаем методом координат. Ось Х направим по стороне АС данного треугольника. Находим координаты ключевых точек:
А(0;0), В(8/3; (4кор5)/3), С(9; 0)
Находим уравнения необходимых прямых:
АВ: у = (кор5)х/2,
ВС: у = (-4кор5/19)х + (36кор5)/19,
AD (высота):у = (19кор5)х/20
СЕ (высота): у = (-2кор5)х/5 + (18кор5)/5
Точка Н (пересечение СЕ и AD): (8/3; (38кор5)/15.)
МО (срединный перпенд.): у = (-2кор5)х/5 + (6кор5)/5.
ОК: х = 4,5
Точка О( пересечение ОК и МО): ((4,5; (-3кор5)/5).
ОН = кор(1049/20) = 7,24 (примерно)
Ответ: ОН = 7,24
б) Находим координаты вершин ортотреугольника EFD:
Е(4; 2кор5)
F(8/3; 0)
D(80/49; (76кор5)/49)
И находим площадь по формуле через координаты вершин:
S = |(1/2)[(x1-x3)(y2-y3) -(x2-x3)(y1-y3)]| =(304кор5)/147 = 4,62
Ответ: S = 4,62