Вопрос от посетителя
В треугольнике со сторонами 20,34, 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны треугольника.
Отвечает Илюха:
по формуле Герона считаем площадь,
S = 336; (полупериметр 48, остальные сомножители 28, 14 и 6)
Отсюда высота к стороне 42 равна H = 2*336/48 = 16;
Далее очевидная пропорция, поскольку верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x – сторона II основанию 42, y – сторона II высоте H = 16)
(16 – y)/16 = x/42; (отношение высот равно отношению оснований)
x + y = 20; (дано в условии)
Решаем эту систему 2 уравнений с 2 неизвестными, получаем
х = 84/13; y = 176/13;
На самом деле, высоту можно найти и без формулы Герона.
Если z – расстояние от вершины, общей для сторон 42 и 20 до основания высоты на сторону 42, то
z^2 + H^2 = 20^2
(42 – z)^2 + H^2 = 34^2; 42^2 – 84*z + z^2 + H^2 = 34^2; 84*z = 42^2 + 20^2 – 34^2;
z = 12; H = 16 (у нас тут египетский треугольник затесался:) (12, 16, 20))