Вопрос от посетителя:
В треугольнике две медианы,равные 9 и 12 см ,пересекатся под прямым углом. Вычислите стороны треугольника.
Илюха отвечает:
Пусть дан треугольник ABC и медианы AK и СМ, AK перпендикулярна CM, т. О – точка пересечения медиан
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины
Пусть x- коэффициент пропорциональности, тогда
2x+x=12 => 3x=12 =>x=4 => AO=8,OK=4
2x+x=9 => 3x=9 => x=3 => СO=6,OM=3
Из прямоугольного треугольника AOC:
(AC)^2=(AO)^2+(CO)^2=8^2+6^2=64+36=100
AC=10
Из прямоугольного треугольника AOM:
(AM)^2=(AO)^2+(OM)^2=8^2+3^2=64+9=73
AM=sqrt(73)
AM=MB
AB=2sqrt(73)
Из прямоугольного треугольника COK
(CK)^2= (CO)^2+(OK)^2=6^2+4^2=36+16=52
CK=sqrt(52)
CK=KB
CB=2sqrt(52)=4sqrt(13)
То есть стороны равны:
AC=10
AB=2sqrt(73)
CB=4sqrt(13)