Вопрос от посетителя
В треугольнике АBC высота CH и медиана CK делят угол ACB на 3 равных угла. Площадь ABC равна 1.5 + корень из 3. Найти радиус вписанной окружности
Отвечает Илюха:
Легко видеть, что треугольник АВМ равнобедренный (в нем высота ВН является биссектрисой угла АВМ), и АН = НМ. Конечно же, НМ = МС/2, поскольку ВМ – медиана АВС. В прямоугольном треугольнике НВС (смотри чертеж) ВМ – биссестриса. Поэтому ВН/ВС = НМ/МС = 1/2;
Это означает, что угол АСВ = Ф = 30 градусов.
Отсюда моментально – угол НВС = 60 градусов,
угол МВС = угол МВН (и = угол АВН, конечно) = 30 градусов.
Поэтому угол АВС – прямой. Угол ВАН = 60 градусов.
конечно же, (см. обозначения на чертеже, немного нестандартно: b – гипотенуза АВС, с – малый катет, а – большой) b = 2*с, а = с*корень(3).
Площадь S = c^2*корень(3)/2.
По условию S = 3/2 + корень(3);
Приравнивая, находим с, отсюда, конечно, а и b, и потом r = (a + c – b)/2; (напомню, что b – гипотенуза).
Далее я не стану приводить выкладки – в условии явно ошибка, площадь должна быть 3/2+ корень(3)/2. Тогда с = 1/2, b =1, a = корень(3); r = 3/4 – корень(3)/2;
А так там просто необозримые корни. Вы тогда сами досчитайте :)))