Вопрос пользователя:
в треугольнике авс со сторонами AB=10,BC=7,AC=15 вписан квадрат,две вершины которого лежат на стороне AC,одна на AB и одна на стороне BC.через середину D стороны ас и центр квалрата проведена прямая,которая пересекается с высотой ВН треугольника авс в точке М.Найдите площадь треугольника DМС.(желательно с рисунком)
Илюха отвечает:
Пусть вершины P и S квадрата PQRS лежат на стороне AC , O — центр квадрата, F — точка пересечения BD и QR . ТреугольникBFR подобен треугольнику BDC , а треугольник BQF — треугольнику BAD , поэтому = = , а т.к. DC=AD , то FR=FQ , т.е. F — середина QR .
Пусть прямая FO пересекает AC в точке E . Тогда FE || QP || BH , а т.к. O — середина FE , то, рассуждая аналогично, докажем, чтоM — середина высоты BH .
Высота MH треугольника DMC вдвое меньше высоты BH треугольника ABC , основание DC — вдвое меньше основания AC , поэтому площадь треугольника DMC в 4 раза меньше площади треугольника ABC .
По формуле Герона находим
SΔ ABC =√16(16-7)(16-15)(16-10)=12√6
Следовательно, SΔ DMC = SΔ ABC = 3√6
ответ: 3√6