Вопрос от посетителя
В треугольнике АВС медиана АD и бессектриса ВЕ пересекаются в точке О. Если AD перпердикулярно ВЕ и S(AOE)=2,то площадь треугольника АВС равна
если можно с рисунком
Отвечает Илюха:
Рисунок не могу. А вы нарисуйте по моему решению 🙂
Пока НЕ пользуюсь перпендикулярностью биссектрисы и медианы.
Хотя наоборот гораздо легче.
Пусть х = ВD/АВ;
AE/AC = AE/(AE + EC) = 1/(1 + EC/AE) = 1/(1 + BC/AB) = 1/(1 + 2*BD/AB) = 1/(1 + 2*x);
Тогда Sabe = Sabc*AE/AC = Sabc/(1 + 2*x);AO/AD = AO/(AO + OD) = 1/(1 + OD/AO) = 1/(1 + BD/AB) = 1/(1 + x);
Saob = Sadb*AO/AD = Sadb/(1 + x);Sadb = Sabc/2; (AD -медиана)
=> Saob = Sabc/(2 + 2*x)
Поэтому
2 = Saoe = Saeb – Saob = Sabc*(1/(1 + 2*x) – 1/(2 + 2*x));
(Вот только теперь стукнем себя по лбу и воскликнем:))) Раз в треугольнике АВD биссектриса перпендикулярна основанию, то это равнобедренный треугольник. Поэтому AB = BD, х = 1;
2 = Sabc*(1/3 – 1/4) = Sabc/12;
Sabc = 24;
Задача делалась давно, но раз я ошибся, есть долг 🙂 Вот другое решение, основанное на том, что с самого начала очевидно, что биссектриса BO – высота в треугольнике ABD, то есть AB = BD = BC/2;
На продолжении BA за точку A я отмечаю точку F, так, что AF = AB;Очевидно, что AD II FC; AD – средняя линяя в треугольнике FBC; FD, AC и BE – медианы в треугольнике FBC;
Отсюда следует вот что
1) Площадь треугольника FBC Sfbc = 2*Sabc; (AC – медиана! 🙂 )
2) Медианы делят треугольник на 6 равных по площади треугольников, то естьSabe = Sfbc/6 = Sabc/3;
3) Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник с вдвое меньшими сторонами, то есть Sabd = Sfbc/4; => Saob = Sabd/2 = Sfbc/8 = Sabc/4; откуда
2 = Sabc*(1/3 – 1/4) = Sabc/12; Sabc = 24;