Вопрос от посетителя
в треугольнике АВС биссектрисы АМ и ВК отсекают на сторонах равные отрезки Ак и В М. Докажите, что треугольник АВС-равнобедренный
Отвечает Илюха:
Соединим точки К и М.
Обозначим для простоты записи
AB = c; BC = a; BM = n; CM = n1; AK = m; CK = m1;
По условию m = n, надо доказать, что a = b;
Из свойств биссектрисы
m/m1 = c/a;
m1 = m*a/c;
n1 = n*b/c; но m = n; отсюда
n1/b = m1/a;
То есть треугольники СКМ и САВ подобны, КМ II АВ. И более того, АКМВ – равнобедренная трапеция. Поэтому углы при основании равны, значит треугольник равнобедренный.
Можно про трапецию не упоминать, а сослаться на то, что отрезки, заключенные между параллельными прямыми, пропорциональны. То есть из равенства m = n следует m1 = n1, а значит a = b.