Вопрос пользователя:
В трапеции ABCD точки K, L, P и L являются точками пересечения медиан треугольников ABC BCD ACD и ABD соответственно. О-точка пересечения отрезков KP и FL. Через точку О проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. В каком отношении эта прямая делит высоту трапеции, если основания равны 2 и 5?
Илюха отвечает:
Проведем прямую АК перпендикулярно AD (пусть К – точка пересечения АК с продолжением ВС, ясно, что АК – высота трапеции, АК = Н) и рассмотрим проекции точек K,L,P,F на эту прямую. К примеру, точка К делит отрезок, соединяющий А и середину ВС, в отношении 2/1, считая от А, поэтому её проекция на АК – пусть это точка K1, делит АК в отношении 2/1, считая от А. То есть АК1 = Н*2/3.
Аналогично AL1 = AK1 = H*2/3; AP1 = AF1 = H/3; L1, P1, F1 проекции L, P, F на АК.
Легко видеть, что проекция точки пересечения KP и LF на АК попадает в середину АК, то есть делит высоту пополам. От оснований ничего не зависит.