Вопрос пользователя:
в трапеции ABCD основание AD в 3 раза больше основания BC. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках M и N. Найдите отношение площади треугольника MON к площади трапеции
Илюха отвечает:
Средняя линия трапеции – полусумма оснований.
Обозначим среднюю линию трапеции КL
Средняя линия этой трапеции состоит из КМ, равной ( из треугольника АВС) половине ВС, и МL, равной половине АD, как половина второго основания .
МL=3 половины ВС,так как АD:2= 3 ВС:2.
NL=1/2 ВС из Δ ВСD как средняя его линия.
Отсюда МN=2NL
МN=2NL=ВС, и
Δ МОN=Δ ВОС по равной стороне и 2-м углам, как накрестлежищим при пересечении параллельных прямых секущими ВD и АС.
Из свойства треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями, треугольники, прилежащие к основаниям, подобны.
Δ ВОС ≈ Δ АОD также и по по трем равным углам.
Следовательно, и Δ МОN, как равный Δ ВОС, подобен Δ АОD
Площадь трапеции – произведение полусуммы оснований на высоту
S АВСD=h*КL
В подобных треугольниках высоты относятся как их стороны.
ВысотаΔ ВОС =1/3 h Δ АОD = 1/4 h АВСD
Площадь ВОС равна половине произведения 1/4 h трапеции на ВС
ВС=1/2 КL
S Δ ВОС равна (1/2 КL*1/4 h):2 =1/16 h*КL
Площадь Δ МОN, как равного Δ ВОС, равна 1/16 h*КL
Следовательно, SΔ МОN: S АВСD – 1:16