Вопрос пользователя:
В трапеции abcd основание ad в 3 раза больше основания bc. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках m и n. Найти отношение площади треугольника MON к площади трапеции ABCD.
Илюха отвечает:
здесь ровно 2 трюка.
1. MN является частью средней линии, длинаа её (a + b)/2, а куски этой средней линии между диагональю и боковой стороной равны b/2 (b – меньшее основание), поскольку сами являются средними линиями в треугольниках, образованных боковой стороной, диагональю и малым основнием. Поэтому MN = (a + b)/2 – 2*b/2 = (a – b)/2
2. Проведем из точки С прямую II AC, до пересечения с продолжением большего основания AD за точку D. Пусть это точка Е.
Тогда треугольник АСЕ имеет площадь, равную площади трапеции (у АСЕ основание АЕ = (a + b), а высота у них общая – расстояние от С до AD) и – вот оно, решение:))) – АСЕ подобен МON (ну, например, у них все стороны параллельны :))
Поэтому можно сразу записать ответ
Smon/Sabcd = ((a/2-b/2)/(a+b))^2 =(1/4)*((a/b – 1)/(a/b + 1))^2 =
= (1/4)*((3 – 1)/(3 + 1))^2 = 1/16;