Вопрос пользователя:
В трапеции проведены диагонали.Площади двух треугольников,прилежащих к основаниям трапеции,равны 4 и 9.Найдите площади трапеции.
Илюха отвечает:
точка пересечения диагоналей делит их в одношении 2/3, (такое же отношение у оснований, но это не слишком важно). То есть части диагоналей, являющиеся боковыми сторонами треугольника с площадью 9, составляют 3/(3+2) = 3/5 от целых диагоналей.
Проведем из вершины малого основания прямую II диагонали, которая через эту вершину не проходит, до пересечения с продолжением большого основания. Получившийся треугольник имеет площадь, равную площади трапеции, поскольку его основание равно сумме оснований трапеции, а высота у них общая (расстояние от вершины малого основания до большого).
При этом боковые стороны получившегося треугольника равны целым диагоналям, то есть отношение его площади к площади треугольника, прилегающего к большому основанию трапеции, равно (5/3)^2.
Поэтому площадь трапеции равна 9*(5/3)^2 = 25.