Вопрос пользователя:
в трапеции АВСД с основанием ВС И АД точка О- точка пересечения диагоналей.
S треугольника АОД =8,
S тр. ВОС =2.
Найдите площадь трапеции.
Илюха отвечает:
Sтрапеции = 1/2(AD + BC)h, где h – высота трапеции.
Пусть a1 = BC (меньшее основание), a2 = AD (большее основание), h1 – высота треугольника BOC, h2 – высота треугольника AOD (обе высоты проведены на из точки О).
Тогда Sтрапеции = 1/2(a1 + a2)(h1 + h2).
Угол CAD = углу BCA(как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC),
Угол DBC = углу ADC(как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD),
значит, ΔBOC подобен ΔDOA (по двум углам).
По теореме о соотношении площадей подобных треугольников
SΔAOD/SΔBOC = k^2 (k – коэффициент подобия).
SΔAOD/SΔBOC = 8/2 = 4 => k = 2.
Значит, a2/a1 = h2/h1 = 2.
h2 = 2h1, a2 = 2a1 => Sтрапеции = 1/2 * 3a1 * 3h1 = 3a1*h1.
SΔBOC = 1/2*a1*h1 = 2 => a1*h1 = 4.
Итак, Sтрапеции = 3*4 = 12.