Вопрос от посетителя:
в равнобедренную трапецию с острым углом a вписана окружность.Какой процент площади трапеции занимает площадь четырехугольника с вершинами в точках касания?
Илюха отвечает:
Решение: Пусть ABCD – данная трапеция, AB||CD,AD=BC,AB Угол ADC=угол BCD=a Пусть О – центр вписанной в трапецию окружности. K, L, M, N – точки касания окружности со сторонами AB,BC,CD,AD соотвеcтвенно. Площадь трапеции равна (AB+CD)2*2r=(AB+CD)*r. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Угол ODC=угол OCD=а2 Угол OAB=угол OBA =90-а2. Далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90) Угол KON= угол MON=180-а. Угол KOL= угол MOL=a. Площадь KLMN равна 4*12*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а). DN=CN=r*ctg (a2), CD=2*r*ctg (a2). AL=BL=r*ctg(90-a2)=r*tg (a2), AB=2*r*tg (a2) Площадь трапеции ABCD равна (AB+CD)*r=(2*r*ctg (a2)+2*r*tg (a2))*r= 2*r^2*(tg(a2)+ctg(a2))). площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции 2*r^2*sin a(2*r^2*(tg(a2)+ctg(a2))) *100%= =sin a(tg (a2)+ctg(a2))*100%= =sin a*tg (a2) (tg^2 (a2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) % Ответ: (sin a^2 * 50) %