Вопрос пользователя:
в равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведённая к ней, 12 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника. пожалуууйста..прям срочно нужно((((
Илюха отвечает:
Тут уже есть одно решение, однако, раз присуствует Пифагорова тройка, я предложу свое, немного – совсем чуть-чуть – нестандартное.
Заданный равнобедренный треугольник можно разрезать на два Пифагоровых со сторонами (5,12,13), проведя медиану-высоту-биссектрису к основанию. Действительно, половина основания 5, высота 12, поэтому боковая сторона 13. При этом мы нашли – заодно – и синус угла при основании, он равен 12/13. Отсюда получаем для радиуса описанной окружности
2*R*12/13 = 13; R = 169/24.
Если такой способ не нравится (хотя не понятно, чем) – есть много способов получить эту величину. Например, можно провести препендикуляр к боковой стороне через вершину основания до пересечения с продолжением высоты-медианы-биссектрисы (то есть оси симметрии исходного треугольника). Расстояние между полученной точкой и вершиной треугольника (противолежащей основанию, отрезок оси симметрии) – это диаметр описанной окружности (поскольку вписанный прямой угол всегда опирается на диаметр). Поскольку при этом получился опять Пифагоров треугольник (точнее, ему подобный), то
D/13 = 13/12, то есть ответ будет таким же.
Найдем теперь радиус вписанной окружности. Для этого из центра ВПИСАННОЙ окружности проведем препендикуляр к боковой стороне. Отрезок от вершины до центра вписаной окружности это 12 – r, и получившийся треугольник, в котором этот отрезок – гипотенуза, а проведеный радиус – катет, опять подобен пифагоровому (5,12,13) (ну, просто у них угол общий :))
Получается r/(12 – r) = 5/13; откуда найдем r = 10/3;
Опять таки, если такой элегантный способ не нравится, в нашем распоряжеии есть и тупой 🙂
Считаем периметр 13*2 + 10 = 36 и площадь 10*12/2 = 60, r = 2*60/36 = 10/3; так мы не потратим ни одной извилины, но получим результат. Кому что нравится :))