Вопрос пользователя:
В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны равны 10.Основание АС равно 12.Определите радиус окружности, касающейся боковой стороны в точке основания высоты, проведенной к боковой стороне и проходящей через середину АС
Илюха отвечает:
Пусть точки М и N – основания высот, проведённых к сторонам АС и АВ соответственно. Тогда окружность пройдёт через эти точки. Т.к. она касается стороны АВ в точке N, то диаметр окружности принадлежит высоте СN, т.к. `CN_|_AB` (как-то плохо доказано, как правильно?). Пусть окружность пересекает CN в точке D, тогда ND – диаметр; угол DMN – прямой, т.к. опирается на диаметр; треугольник DMN – прямоугольный.
Треугольники AMN и ABC подобны (Так и не понял почему. Где-то читал, что они должны быть подобны, а вот по какому признаку?. Мне кажется, что тут дело в равенстве углов, но как доказать? Один угол общий BAC=MAN, а вот другой?). Т.к. треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС, то высота ВМ – медиана, т. М – середина АС, АМ=12/2=6.
Из подобия следует, что `(MN)/(BC)=(AM)/(AB)=>MN=(BC*AM)/(AB)=(10*6)/10=6`.
Треугольник MND – прямоугольный.
А вот теперь идёт утверждение, которое я никак не могу доказать, но которое показалось мне верным и привело меня к верному ответу. Утверждение следующее:
Треугольники NMD и BMC подобны (опять мне кажется, что дело в подобиях по двум углам, и у того, и у другого есть прямой угол, т.е. углы NMD и BMC равны, но вот как доказать равенство других углов?).
Из подобия следует: `(BM)/(NM)=(BC)/(NC)=>NC=(BC*NM)/(BM)=(10*6)/8=15/2` – это мы нашли диаметр. Радиус тогда равен `R=(NC)/2=15/4` – верный ответ.