Вопрос от посетителя:
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Через точку М, лежащей на стороне АВ, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую АС в точке D. Найдите боковую сторону треугольника АВС, если АС=СD=14, МВ=1/8 АВ.
Ответ: 10
Илюха отвечает:
По прежнему не идут вложения. Если нужен подробный рисунок, сообщите эл. адрес. Туда вышлю фотку.
АВС – равнобедр. тр-к. АВ = ВС = х. h = BK – высота, r – радиус вписанной окружности. ОК = r, О – точка пересечения биссектрис – центр вписанной окр-ти. Остальные обозначения и построения – как описаны в условии.
х = ?
Сначала некоторые соотношения через площадь:
S = pr, где р = (х+х+14)/2 = х+7 – полупериметр. S = (x+7)r
S = AC*h/2 = 7h
Приравняв, выразим h через r:
h = (x+7)r/7. (1)
Из тр.АОК: tgA/2 = r/7
Из тр. АВК: tgA = h/7
Из тригонометрии: tgA = 2tgA/2 / (1-tg^2(A/2)) = 14r/(49-r^2)
Значит h = 7tgA = 98r/(49-r^2) (2)
Приравняв (1) и (2), получим выражение для х через r:
х = (686/(49-r^2)) – 7 = (343+7r^2)/(49-r^2) (3)
Задача сводится к нахождению r^2.
Треугольники AMN и АВК – подобны (мы провели MN перпенд. АС)
АМ/АВ = MN/ВК = AN/АК = 7/8 (следует из условия МВ = АВ/8)
Значит: MN=7h/8 = 343r/(4(49-r^2)),
AN = 7AK/8 = 49/8, ND = AD – AN = 28 -(49/8) = 175/8
Из пр. тр-ка DOK: tgD/2 = r/KD = r/21
Из пр. тр. DMN: tgD = MN/ND = 686r/(175(49-r^2)) (4)
Через тригонометрию:
tgD = 2tgD/2 /(1-tg^2(D/2)) = 42r/(441-r^2) (5)
Приравняв (4) и (5), получим уравнение для r^2:
686r/(175(49-r^2)) = 42r/(441-r^2)
7/(25(49-r^2)) = 3/(441-r^2)
r^2 = 588/68 = 147/17 (6)
Теперь подставим (6) в (3) и найдем боковую сторону:
Ответ: 10