Вопрос от посетителя:
В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD. Найти BC, если известно что AD=a, AB^2+BC^2=11/16a^2
Илюха отвечает:
Проведем дополнительно высоту СК. Так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок DK = (а-х)/2, где х – искомое основание ВС.
Из тр-ка СКD: CD = DK/cosD = (a-x)/(2cosD).
С другой стороны из пр.тр-ка ACD: CD = a*cosD.
Приравняв, получим: cos^2 (D) = (a-x)/2a (1)
Но по условию:
AB^2 + x^2 = (11/16)a^2, а АВ^2 = CD^2 = a^2 *cos^2(D) = a(a-x)/2
Подставив получим уравнение:
a(a-x)/2 + x^2 = (11/16)a^2 (2)
Домножим на 16 и приведем к квадратному уравнению:
16x^2 – 8ax – 3a^2 = 0 D = 64a^2 + 192 = 64(a^2 +3)
x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32 (другой корень – отрицателен)
x = (a + кор(a^2 +3))/4