Вопрос пользователя:
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной в него окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 3 и 7. Найдите площадь треугольника
Илюха отвечает:
пусть х – расстояние от прямого угла до точек касания вписанной окружности катетов (радиус вписанной окружности по совместительству)
тогда из равенства касательных длины катетов равны x+3 и x+7
из т.пифагора
(3+7)^2 = (x+3)^2 + (x+7)^2
42 = 2 x^2 + 20 x
x^2 + 10x – 21 = 0
D’ = 25 + 21 = 46
x = -5 +- sqrt(46)
выбираем положительный корень
площадь (x+3)*(x+7)/2 = (sqrt(46)-2)(sqrt(46)+2)/2 = (46-4)/2 = 21