Вопрос пользователя:
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.
Илюха отвечает:
Выясним соотношения между катетами и гипотенузой треугольника. Пусть гипотенуза равна 2х, тогда один катет равен х(тот, что лежит против угла в 30гр.), а другой 2х · cos 30 = 2x·0.5√3 = x√3/
Радиус вписанной в прямоугольник окружности равен
r = ( a + b – c):2, где а и b -катеты, а с – гипотенуза.
r = ( х + х√3 – 2х):2 = 0,5х(√3 – 1)
0,5х(√3 – 1) = 4
Отсюда х = 8/(√3 – 1)
Периметр треугольника: Р = 2х + х + х√3 = х(3 + √3). Полупериметр р = 0,5х(3 + √3)
Площадь треугольника S = r·p = 4·0,5х(3 + √3) = 2х(3 + √3)
Подставим х = 8/(√3 – 1) и получим
S = 2·(3 + √3)·8/(√3 – 1)
S = 16√3·(√3 + 1)/(√3 – 1)