Вопрос от посетителя:
В прямоугольник ABCD, в которой AB=3 см, AD=4 см. Пусть A’B’C’D’ – образ данного прямоугольника при осевой симметрии относительно прямой AC; A”B”C”D” – образ данного прямоугольника при параллельном переносе на вектор CA. Найдите: a)S(ABCD A’B’C’D’); б) D’D”?
Илюха отвечает:
a)Направим ось Х по стороне AD , ось У – по стороне АВ.
Тогда координаты вершин: А(0;0), В(0; 3), С(4; 3), D(4; 0).
При отображении относительно АС, точки А и С останутся на месте, а точки в и D отобразятся в точки B’ и D’.Фигура и ее площадь при осевой симметрии не изменились, изменилась только ориентация прямоугольника.Пусть К – точка пересечения AD’ и BC, М – точка пересечения AD и CB’.
Тогда искомая площадь пересечения областей ABCD и AB’CD’ – параллелограмм AKCM.
S(AKCM) = 3*4 – 2S(CKD’).
Найдем координаты точки D’.
Уравнение прямой АС: У = 3х/4
Тогда уравнение прямой DD’ (перпендикулярной к АС) имеет вид:
у = -4х/3 + b. эта прямая проходит через точку D(4; 0). Найдем b:
0 = -16/3 +b b = 16/3 у = -4х/3 + 16/3
Ищем пересечение прямых АС и DD’:
3х/4 = -4х/3 + 16/3 х = 64/25, у = 48/25
Эта точка – середина отрезка DD’.
64/25 = (х+4)/2, 48/25 = (0+у)/2
х = 28/25; у = 96/25 D’ (28/25; 96/25)
Найдем уравнение прямой AD’:
96/25 = 28к/25 к = 96/28 = 24/7 AD’: у = 24х/7
Найдем координаты т. К – пересечения у=3 и у = 24х/7
х = 7/8, у = 3
Тогда длина отрезка КС = 4 – 7/8 = 25/8 – основание тр-ка KD’C.
Высота этого тр-ка: h = (96/25) – 3 = 21/25
Искомая площадь:
S = 12 – 2*(KC*h/2) = 12 – 21/8 = 75/8
Ответ: 75/8 см^2.
б)При параллельном переносе на вектор СА (-4; -3) точка D (4; 0) перейдет в точку D” (0; -3). Из п.а) координаты D’- (28/25; 96/25)
Тогда расстояние D’D” = кор( (28/25)^2 + (3 + 96/25)^2) = (кор1201) /5 (примерно 6,93 см)
Ответ: (Кор1201)/5 (примерно 6,93 см).