Вопрос от посетителя:
В прямоугольнике ABCD AD=5; острый угол между диагоналями равен угол(AOB)=arcsin(40/41) (О – точка пересечения диагоналей); K принадлежит BC, BK_KC=2:3; L принадлежит CD, CL_CD=2:3
а)2AK-LB? ( AK, LB(вектор))
б) угол между лучами BL и AK
Илюха отвечает:
Пусть угол АОВ = р = arcsin(40/41). cosp = 9/41.
Из равнобедр тр-ка АОВ найдем сторону АВ:
АВ = 2*2,5*tg(p/2) = 5*(sinp/(1+cosp)) = 5*4/5 = 4
LD = CD/3 = 4/3.
ВК = 2, КС = 3.
а) Теперь поместим начало координат в вершину А прямоугольника. Расставим координаты необходимых точек:
В(0; 4), К(2; 4), L(5; 4/3), А(0; 0).
Теперь распишем координаты необходимых в задаче векторов:
АК” : (2; 4), LB”: (-5; 8/3).
Тогда вектор (2AK” – LB”): (4+5; 8-(8/3)): (9; 16/3)
(2AK” – LB”): (9; 16/3).
б) Будем искать cosq, где q – угол между векторами АК” и BL”, через скалярное произведение этих векторов.
сosq = (АК” BL”) / |AK”||BL”|.
АК” : (2; 4), BL”: (5; -8/3). (АК” BL”) = 2*5 + 4*(-8/3) = – 2/3
|AK”| = кор( 4 + 16) = 2кор5
|BL”| = кор(25 + 64/9) = 17/3
cosq = -(2/3) /[(2кор5) *(17/3) = – 1/17кор5
В итоге острый угол между векторами BL” и AK” составляет :
arccos (1/(17кор5))