Вопрос пользователя:
В прямой треугольной призме ABCA1B1C1, угол ACB=90 градусов, АС=ВС=а. Прямая B1C составляет с плоскостью грани АА1В1В угол 30 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Илюха отвечает:
В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными “а”. Следовательно, его гипотенуза АВ равна а√2.
Угол между наклонной СВ1 и плоскостью АА1В1В – это угол между этой наклонной и ее проекцией на данную плоскость.
Опустим перпендикуляр СН из точки С на плоскость АА1В1В. Этот перпендикуляр – высота треугольника АВС, опущенная из прямого угла АСВ на гипотенузу АВ, а отрезок В1Н – проекция наклонной СВ1 на плоскость АА1В1В.
Высота равнобедренного прямоугольного треугольника АВС является и медианой и по свойству равна половине гипотенузы.
СН = (1/2)*АВ = а√2/2.
Данный нам угол между прямой СВ1 и плоскостью АА1В1В – это угол СВ1Н = 30° между наклонной СВ1 и ее проекцией НВ1.
В прямоугольном треугольнике СНВ1 против угла 30° лежит катет СН, равный половине гипотенузы СВ1.
СВ1 = 2*СН = а√2.
Из прямоугольного треугольника СВВ1 по Пифагору найдем катет ВВ1 (высоту призмы).
ВВ1 = √(СВ1² – СВ²) = √(2а² – а²) = а.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Периметр равен 2а+а√2, а высота равна а. Следовательно,
Sбок = а²(2+√2) ед².