Вопрос пользователя:
В правильной четырёхугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды
Илюха отвечает:
Полная площадь четырехугольной пирамиды состоит из площади основания и площади четырех граней.
Площадь грани равна половине произведения апофемы на сторону основания.
Площадь основания – квадрат его стороны.
Для решения задачи нужно найти сторону основания и апофему.
Сделаем рисунок, он несложный.
Обозначим вершины основания АВСD, вершину пирамиды М, высоту пирамиды МО, апофему – МН.
Рассмотрим треугольник МНО.
Он прямоугольный, образован высотой МО пирамиды, апофемой МН и катетом ОН, равным половине стороны основания, т.к. основание О высоты МО правильной четрехугольной пирамиды находится в центре вписанной окружности основания. Радиус ОН вписанной в квадрат окружности равен половине стороны этого квадрата и является проекцией апофемы.
Гипотенуза МН равна высоте МО, деленной на синус 60°.
МН=МО:sin(60°)=6:{(√3):2}=4√3
ОН=МН*sin(30°)=4√3*1/2=2√3
АВ=2*2√3=4√3
Площадь основания пирамиды равна АВ²=(4√3)²=48 см²
S(АМВ)=МН*АВ:2=(4√3*4√3):2=24 см²
S бок=24*4=96 см²
Sполн=S бок+АВ²=48+96=144 см²
( Несколько раз пыталась приложить рисунок – не загружается. Но по описанию сделать его не будет трудно). [email protected]