Вопрос пользователя:
В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD с вершиной Р сторона основания равна 3, а высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани РСD
Илюха отвечает:
Ну, пожалуй начнем с того, что точка А лежит на прямой АВ, которая параллельна плоскости грани РСД. Значит, найти можно это расстояние – и дело в шляпе.
Рисуем высоту пирамиды – опускаем перпендикуляр из Р к плоскости основания. Режем пирамиду плоскостью, проходящей через этот перпндикуляр. При том она должна быть перпендикулярна плоскости грани РСД и прямой АВ (она будет параллельна ВС и ДА).
На этой секущей плоскости получился треугольник, образованный пересечением ее с основанием пирамиды, гранями РСД и АВР. Одна точка уже имеет название – точка Р. Назовем другие:
точка пересечения с АВ пусть будет Е,
точка пересечения с СД пусть будет К,
точка пересечения перпендикуляра к ЕК – того, что мы рисовали в первых строках – с основанием, то есть с отрезком ЕК, назовем Н
Вот и вышел треугольник равнобедренный ЕРК с ЕК равным стороне основания пирамиды, то есть 3см
В нем известна еще и длина высоты – отрезка РН=2см
Дальше и вовсе проблем нет:
Проводим искомый отрезок – перпендикуляр из Е к стороне РК. Точку его пересечения с РК пусть будет называться Т.
Именно этот отрезок и есть расстояние от прямой АВ до плоскости РСД – то есть искомая величина!
Дальше идея такая: площадь треугольника равна полусумме произведения основания на высоту. Так?
У нас есть два способа это произведение здесь представить: взяв пару основание ЕК и высота РН. Или взяв другую пару: основание РК и высота ЕТ
очевидно, что
Площадь треугольника ЕРК=ЕКхРН/2=РКхЕТ/2
То есть ЕКхРН=РКхЕТ
искомое ЕТ=ЕКхРН/РК
в этом выражении нам известно
ЕК=3см
РН=2см
Для получения ЕТнеизвестно лишь длина РК.
Так мы сейчас ее вычислим, поглядев на треугольник РКН! Он прямоугольный, катет РН равен 2 см, а НК – половине от ЕК=3/2=1,5см.
Посчитаем гипотенузу – ничего нет проще – она равна корню квадратному из суммы квадратов катетов, то есть из суммы квадрата трех и квадрата полутора. В общем, ясно:
РК равен 2,5см
Всё!
Теперь находим нужное нам:
ЕТ=3х2/2,5=2,4см
Ура!))