Вопрос от посетителя:
В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3. Боковые грани наклонены к основанию под углом 45 градус. Найдите объем пирамиды?
Илюха отвечает:
Пусть SABCD – данная пирамида. О-центр основания. ОН перпенд. (SАВ) и равно 3. Угол SPO=45°(OP перпенд. АВ)
1. Находим ОР.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОНР, угол ОНР=90°.
Угол НОР=угол НРО = 45°
НР=ОН=3
По теореме Пифагора: ОР²=НР²+ОН²=18
ОР=3√2
2. Находим высоту пирамиды SO.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOР, угол SOР=90°.
Угол РSO=угол SРO=45°⇒ ΔSOР-равнобедренный.
SO=OР=3√2
2. Находим сторону основы.
ОР является радиусом вписанной окружности. Значит, r=AB/2.
AB=2r=2·3√2=6√2
3. Находим площадь основания.
S=a²
S=(6√2)²=72 (кв.ед.)
4. Находим объём пирамиды.
V=1/3 So h
V=1/3·72·3√2 = 72√2 (куб.ед.)
Ответ. 72√2 куб.ед.