Вопрос от посетителя:
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро l, а плоский угол при вершине – альфа “а”. Найдите боковую поверхность и объем пирамиды.
Илюха отвечает:
Пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный треугольник, а боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Пусть Н – середина ВС, тогда SH – медиана, биссектриса и высота ΔSBC.
ΔSHC: ∠SHC = 90°
SH = SC·cos(α/2) = l ·cos(α/2)
HC = SC·sin(α/2) = l · sin(α/2)
BC = 2HC = 2lsin(α/2) – ребро основания.
Sбок = Pосн/2 · SH =.3 · 2lsin(α/2) / 2 · l ·cos(α/2) = 3 ·l² · sin(α/2)cos(α/2)
Sбок = 3/2 · l²sinα
Sabc = BC²√3/4 = (2lsin(α/2))²√3/4 = 4l²sin²(α/2)√3/4 = l²sin²(α/2)√3
OH = BC√3/6 как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник.
OH = 2lsin(α/2)√3/6 = l·sin(α/2)√3/3
ΔSOH: ∠SOH = 90°, по теореме Пифагора
SO = √(SH² – OH²) = √(( l ·cos(α/2))² – (l·sin(α/2)√3/3)²) =
= √(l²cos²(α/2) – l²sin²(α/2)·3/9) = l · √(cos²(α/2) – sin²(α/2)/3)
упростим выражение под корнем:
cos²(α/2) – sin²(α/2)/3 = (1 + cosα)/2 – (1 – cosα)/6 = (3 + 3cosα – 1 + cosα)/6 =
= (2 + 4cosα)/6 = (1 + 2cosα)/3
V = 1/3 · Sосн · SO
V = 1/3 · l²sin²(α/2)√3 · l · √((1 + 2cosα)/3) = l³·sin²(α/2)√(1 + 2cosα) / 3