Вопрос пользователя:
В параллелограмме KLMN точка E-середина стороны LM. Известно,что EK=EN.докажите,что данный параллелограмм-прямоугольник.
Илюха отвечает:
Если Р – середина KN, то в треугольнике KEN EP – медиана, и (поскольку треугольник равнобедренный) одновременно – высота. Поэтому EP перпендикулярно KN. Но ЕР II MN. Поэтому MN перпендикулярно KN. Значит, KLMN – прямоугольник.
(Почему ЕР II MN? Ну, например, потому, что EMNP – тоже параллелограмм. Тут можно сослаться на пропорциональность отрезков LE, ЕМ и KP, PN и теорему о пропорциональных отрезках между параллельными линиями. Хотя вообще-то это очевидно, что линия, соединяющая середины противоположных сторон параллелограмма, параллельна сторонам. Можно и так – фигуры LEPK и EMNP накладываются друг на друга при параллельном переносе – при сдвиге на длину ЕМ вдоль LM, то есть они равны. Отсюда равны соответственные углы при прямых ЕР и MN и секущей LM. Как ни удивительно, это – строгое доказательство, потому что определение равенства фигур именно в этом и заключается – что они совпадают при каком-то переносе без деформации – или при зеркальном отражении).