Вопрос от посетителя
в окружность радиуса sqrt(61)/2 вписана трапеция с основаниями 5 и 7. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции
Отвечает Илюха:
Обозначим d5 – расстояние от центра окружности до хорды длины 5; d7 –
до хорды длины 7, x – расстояние от хорды длины 5 до точки пересечения
диагоналей трапеции.
d5^2 + (5/2)^2 = R^2 = 61/4; d5^2 = 36/4 = 9; d5 = 3;
d7^2 + (7/2)^2 = R^2 = 61/4; d7^2 = 12/4 = 3; d7 = √3;
Высота трапеции h = d5 – d7 = 3 – √3; или h = d5 + d7 = 3 + √3; (Основания трапеции могут лежать с одной стороны от центра, или – по разные, по этому есть 2 варианта)
Из подобия треугольников, составленных диагоналями и основаниями,
x/(h – x) = 5/7; Отсюда x = h*5/12;
И в первом и во втором случае расстояние от центра до точки пересечения диагоналей будет
d5 – x = d5 – (d5 +- d7)*5/12 = (7/12)d5 +- (5/12)d7
В первом случае искомое расстояние
x + d7 = (7/12)(3 – √3) + √3 = 7/4 + 5√3/12;
Во втором x – d7 = (7/12)(3 + √3) – √3 = 7/4 – 5√3/12;
Ох, я надеюсь, что это правильный ответ…