Вопрос от посетителя:
В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник со стороной x.Является ли его площадь S функцией от x? Если да то найдите область определения этой функции и её значение x=R; Rкорень из 2
Илюха отвечает:
Пусть α – угол при вершине треугольника, a В – боковая сторона.
Тогда по теореме синусов Х / sin α = 2 * R , откуда α = arcsin (X/(2*R)).
Тогда В = Х / (2 * sin α/2) и по формуле площади
S = B² * sin α / 2 = (Х / (2 * sin α/2))² * sin α / 2 = X² * sin α / (8 * sin²α/2) =
X² * 2 * sin α/2 * cos α/2 /(8 * sin²α/2) = X² * ctg α/2 / 4 =
X² * ctg (arcsin (X/(2*R))/2) / 4
При Х = R arcsin (X/(2*R)) = arcsin 1/2 = π/6 , поэтому
S = R² * ctg (π/12) / 4
При Х = R * √2 arcsin (X/(2*R)) = arcsin 1/√2 = π/4 , поэтому
S = R² * ctg (π/8) / 2