Вопрос от посетителя:
В каждой клетке квадрата 2011х2011 записали некоторое число.Оказалось,что произведение чисел в каждой строке отрицательно.Докажите,что найдется столбец в котором произведение чисел также отрицательно.
Илюха отвечает:
произведение может быть отрицательным, быть равным 0, или быть положительным,
поскольку произведение в каждой строке отрицательное , то среди чисел в таблице нет 0.
Далее произведение всех чисел в таблице это произведение чисел, которые равны произведению чисел в каждой строке, т.е. произведение 2011 отрицательных чисел, а значит отрицательное (так как число множителей нечетное число).
Если нет ни одного столбца произведение чисел в котором было бы отрицательным, то произведение чисел в каждом столбце было бы положительным (так 0 быть не может, нет 0 среди чисел в таблице).
И тогда произведение всех чисел таблицы как произведение чисел, которые равны произведению чисел в каждом столбце было бы положительным (как произведение положительных чисел). Что невозможно(так как произведение всех чисел число отрицательное).
Поэтому найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно. Доказано