Вопрос пользователя:
в арифметической прогрессии пятый член равен 2.прикаком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений чевертого,седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей??
НЕ ПРОСТО ОТВЕТ,А РЕШЕНИЕ!!!
Илюха отвечает:
В рекурентной форме пятый член арифметической прогресси выглядит как: a5=a1+4d=2, выразим а1: a1=2-4d
Теперь в рекурентной форме выразим a4, a7, a8:
a4=a1+3d; a7=a1+6d; a8=a1+7d
Составим всевозможные попарные произведения этих членов прогрессии:
1) a4*a7=(a1+3d)(a1+6d)=(2-4d+3d)(2-4d+6d)=(2-d)(2+2d)=-2d^2+2d+4
2)a4*a8=(a1+3d)(a1+7d)=(2-4d+3d)(2-4d+7d)=(2-d)(2+3d)=-3d^2+4d+4
3)a7*a8=(a1+6d)(a1+7d)=(2-4d+6d)(2-4d+7d)=(2+2d)(2+3d)=6d^2+10d+4
Найдем сумму этих произведений:
S=a4*a7+ a4*a8+a4*a8=-2d^2+2d+4-3d^2+4d+4+6d^2+10d+4=d^2+16d+12
Зададим формулу суммы в виде функции:
y(d)=d^2+16d+12, это функция квадратичная её графиком является парабола, т.к. коэффициент при d^2 положительный, то минимальное значение функция будет принимать в вершине параболы=> для того чтобы найти нужное нам значение d (такое чтобы сумма была минимальной), нам необходимо найти координату вершины параболы на оси Ох, для этого воспользуемся формулой х0=-(b/2a), т.к. у нас d вместо х, то d0=-(b/2a)=-(16/2)=-8, это и есть то значение разности прогрессии при котором, сумма всевозможных попарных произведений чевертого,седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей. Можно даже вычислить его, для этого подставляем d0 в уравнение функции, получаем:
yнаим.=(-8)^2-128+12=-52, т.е. Sнаим.=-52.
Ответ: d=-8; Sнаим.=-52