Вопрос от посетителя
Высота CD провидённая к основанию AB равнобедренного треугольника ABC , равна 8 см , а само основание 12 см . Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружности. напишите пожалуйста решение для 8 класса
Отвечает Илюха:
См чертеж. У меня немного другие обозначения, ну, я думаю – разберетесь, я делал чертеж к другой задаче.
Радиус ВПИСАННОЙ окружности найти можно легко без труда по формуле
r = 2*S/P, где S – площадь треугольника, Р – периметр.
(эта формула легко находится, если соединить центр вписанной окружности с вершинами и сложить площади 3 полученных треугольников, у которых основаниями будут стороны, а высотами – радиусы в точку касания. Это даже не 8 класс:))
S = 12*8/2 = 48; P = 10 + 10 + 12 = 32; r = 2*48/32 = 3;
Чуть-чуть труднее найти R – радиус описанной окружности.
(есть стандартная формула R = abc/4S, которую тоже очень просто получить, но нужно знать теорему синусов, поэтому рассмотрим более простой способ)
на чертеже нарисован треугольник и необходимое дополнительное построение. Высота продолжается за точку пересечения с основанием, и из точки В проводится пепендикуляр к боковой стороне. Эти прямые пересекутся в точке, лежащей на описанной окружности.
В самом деле, центр обязательно лежит на высоте (медиане, биссектрисе) равнобедренного треугольника (раз есть ось симметрии, то центр обязательно должен лежать на ней. В противном случае у нас было бы ДВА центра! Второй получался, как симметричный относительно высоты :)). С другой стороны, вписанный прямой угол (на чертеже это КВА) должен опираться на диаметр окружности. Поэтому АК – диаметр.
Далее (напоминаю, мои обозначения немного другие, будьте внимательны) Треугольники АВЕ и АВК прямоугольные с общим углом. То есть они подобны.
Получается АК/AB = AB/AE; 2*R = 10^2/8; R = 25/4;