Вопрос пользователя:
высота равнобедренного треугольника равна 9√3, а радиус вписанной окружности равен 3√3. найдите площадь треугольника.
Илюха отвечает:
Вот как рассуждаем. Центр вписанной окружности лежит на высоте-медиане-биссектрисе, проведенной к основанию равнобедренного треугольника и делит высоту (она же медиана и биссектриса) в пропорции 2:1 (ну, ясно, что отрезок высоты от центра до стороны – это радиус вписанной окружности, раз он перпендикулярен стороне, этот отрезок 3*√3, а вся высота 9*√3).
Поэтому центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан. По свойству биссектрисы это сразу значает, что стороны попарно равны (поскольку биссектрисы совпадают с медианами, они делят стороны в пропорции 1:1, равной отношению сторон).
Итак, треугольник РАВНОСТОРОННИЙ. Это позволяет найти сторону треугольника и площадь. Пусть сторона равна а. Тогда высота равна a*√3/2 = 9*√3, а = 18.
Площадь равна S = a*h/2 = 18*9*√3/2 = 81*√3