Вопрос пользователя:
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит этот треугольник на два. Расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, равно 1. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.
Илюха отвечает:
Я не знаю, как положено решать эту задачу, но я нашел удивительно красивое геометрическое решение.
См. чертеж. Внимательно посмотрите на обозначения! Скажем, М – основание высоты СМ = h, ВМ = х, и так далее.
Рассмотрим треугольник О1О2М. Легко видеть, что О1К1МР1 – квадрат (К1 и Р1 – точки касания АВ и СМ первой окружности), поэтому О1М = r1*корень(2);
Точно так же О2М = r2*корень(2);
Кроме того, О1М перпендикулярно О2М – это биссектрисы смежных углов.
Итак, О1О2М – прямоугольный треугольник с катетами r1*корень(2) и r2*корень(2)
Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему подобных. Треугольники ВСМ и САМ (и АВС, конечно) подобны.
Поскольку в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности
r = (a + b – c)/2, то в подобных треугольниках отношение радиусов такое же, как отношение сторон. Это означает, что
r2/r1 = h/x (отношение малых катетов в треугольниках САМ и СВМ)
Но h – большой катет в треугольнике ВСМ.
Поэтому перед нами соотношение, ДОКАЗЫВАЮЩЕЕ подобие треугольников ВСМ и О1О2М !!!!!!!
В самом деле, мы УЖЕ доказали, что О1М/О2М = ВМ/СМ. Для прямоугольного треугольника этого вполне достаточно.
Для радиуса вписанной окружности r треугольника АВС тоже можно записать соотношение подобия (пропорциональности) с треугольником ВСМ.
r/r1 = c/b (b – гипотенуза в треугольнике ВСМ).
Но c/b = d/(r1*корень(2)) (отношение гипотенузы к малому катету в треугольниках АВС и О1О2М).
поэтому
r/r1 = d/(r1*корень(2));
r = d/корень(2);
ну, d = 1 по условию.
Всё так удачно складывается именно потому, что h и b играют как-бы двойную роль – h – малый катет в СМА и большой в ВМС, а b – малый катет в АВС, и гипотенуза в ВМС.