Вопрос от посетителя:
Вывести формулу последовательности путем деления многочленов с остатком:
(2^(n-1)-1)/(2^h+2^k+z)
n, h, k, z – целые числа, причем:
n=2^h+2^k+z
h=[lg(n)/lg2],
k=[lg(n-2^h)/lg2]
z=n-2^h-2^k, где []-оператор выделения целой части
Илюха отвечает:
Формула общего члена последовательности:
a(n) = (2^(n-1) – 1) / n. (по условию)
Здесь важно написать каковым может быть n.
Проанализируем выражения для h и k:
h = [lg(n)/lg2] – под целой частью видим формулу перехода к основанию 2:
h = [log(2)n].
Аналогично для k:
k =[log(2)(n-2^h)]
Отсюда видно, что n принадлежит области натуральных чисел, за исключением чисел 1,2, 4, 8,…2^m…, где m = 0,1,2…, то есть
m прин. {0}vN.
Распишем несколько членов последовательности для допустимых значений n:
n = 3, h = 1, k = 0, z = 0 a(n=3) = 3/3 = 1.
n = 5, h = 2, k = 0, z = 0 a(n=5) = 15/5 = 3.
n = 6, h = 2, k = 1, z = 0 a(n=6) = 31/6
n = 7, h = 2, k = 1, z = 1 a(n=7) = 63/7 = 9
n = 9, h = 3, k = 0, z = 0 a(n=9) = 255/9 = 85/3….
…. и так далее.
Проиллюстрируем нахождение a(n) путем деления (2^(n-1)-1) на n в виде деления многочленов, записанных в двоичной системе исчисления, на некоторых примерах: (удобно, так как и делимое и делитель представляют собой комбинации степеней двойки). Разряд h постоянно растет, а разряды k и z никуда не передвигаются.
Тогда делимое (2^(n-1)-1) в двоичной записи представляет собой (n-1) единиц. А делитель – число n в двоичной записи.
Пусть n=5.
1111 | 101
101 11
101
101
0
Результат: a(5) = 3.
Возьмем теперь случай деления с остатком.
Пусть n = 9.
11111111 | 1001
1001 1110
1101
1001
1001
1001
11
Итак получили число 1110 и 11 – в остатке. В десятичной системе: 28 и 3
Значит результат деления: 28 и 3/9 = 28 и 1/3 = 85/3, что совпало с нашими предыдущими вычислениями.
Итак формула последовательности:
a(n) = (2^(n-1) – 1)/n, где n принадлежит области N натуральных чисел, кроме значений 2^m, где m = 0,1,2,3…..
P.S. Может я все-таки неверно понял задание…просто формула самой последовательности лежит на поверхности