Вопрос от посетителя
Внутри равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC=12, AD =28 и боковой стороной CD=10 выбрана точко О так, что окружность с центром в точке О касается оснований трапеции и стороны CD . Найдите площадь треугольника ABO.
Отвечает Илюха:
Для более лучшего понимания нарисуйте равнобедренную трапецию.
У меня левый нижний угол – А
Верхний левый – B
Правый верхний – С
нижний правый – D
Все вычисления производились относительно правой бокой стороны CD.
Для наглядности и понимания на 100% можете нарисовать на А4 в натуральную величину. (Есть возможность проводить измерения линейкой если не понятно откуда какие цифры взялись).
Надеюсь я старался не зря 🙂
Решение:
Так как трапеция равнобедренная с основаниями равными 12 и 28 и боковой стороной 10, то без труда мы можем найти высоту трапеции и среднюю линию.
Средняя линия по определению: (28+12)/2=20
Высота находится по теореме Пифагора: sqrt(10^2-8^2)=sqrt(36)=6
10 -боковая сторона
6-мы нашли так: 28-12=16 (большее основание минус меньшее)
16/2=8 т.к. нужно найти расстояние по одну сторону от высоты
В треугольнике стороны 6, 8, 10
Трапеция равнобедренная => радиус окружности равен половине высоты т.е. 6/2=3
Так же это означает, что центр окружности расположен на средней линии треугольника.
Способом выше найдем катет образованный средней линией, высотой и боковой гранью.
Очевидно, что высота равна 3, боковая сторона 5 => нижний катет 4
По теореме найдем высоту опущенную на гипотенузу (3+4)/5=2.4
Нам необходимо чтобы окружность радиусом 3 касалась боковой стороны, следовательно 3/2.4=1.25 – коэффициент пропорциональности ( как одна сторона относится к другой)
Находим нижний катет 4*1.25=5 Это означает что центр окружности отдален на 5 от стороны CD по средней линии.
Осталось найти площадь треугольника ABO
Найти легче если разбить треугольник на два средней линией трапеции. Находим так, потому что не надо находить дополнительные величины.
По теореме Пифагора получаем площадь нижнего (20-5)*3*0.5=22.5
и площадь верхнего (20-5)*3*0.5=22.5
складываем 22.5+22.5=45
Следовательно площадь искомого треугольника равна AOB равна 45
Всегда пожалуйста.