.  Внутри окружности радиуса R расположены три окружности радиуса r , касающиеся друг друга внешним образом, каждая из которых касается большей окружности внутренним  образом. Определите разность площади большей окружности  и суммы площадей меньших окружностей.

Вопрос от посетителя

.  Внутри окружности радиуса R расположены три окружности радиуса r , касающиеся друг друга внешним образом, каждая из которых касается большей окружности внутренним  образом. Определите разность площади большей окружности  и суммы площадей меньших окружностей.

Отвечает Илюха:

я уже решал такую задачу, не могу вспомнить номер. Это очень просто. Мы считаем заданным R – радиус большой окружности, надо найти радиус малой окружности r. Если соединить центры малых окружностей, то получится равносторонний треугольник со стороной 2*r. А расстояние от центра большой окружности до центра малой будет R – r; для упомянутого треугольника это радиус описанной окружности.

По теореме синусов

2*(R – r)*sin(pi/3) = 2*r; r = R/(1 + 2/корень(3));

Дальше все просто – Искомая величина равна

pi*R^2*(1 – 3/(1 + 2/корень(3))^2) = pi*R^2*(корень(3) – 1/2)/(корень(3) + 7/4)