Вопрос от посетителя:
Вдоль улицы расположено 100 фонарей с переключателями. Их обслуживают 100 гномов. Вечером с наступлением темноты (когда все фонари выключены), гномы идут друг за другом и нажимают кнопки переключателей: первый все кнопки подряд, второй – каждую вторую кнопку, третий – каждую третью и т.д., наконец, сотый гном нажимает только сотую кнопку. Указать номера фонарей, которые оказываются в конце концов включенными.
Илюха отвечает:
1-ый гном 1-ый фонарь вкл.
Далее 1-ый 2-ой фонарь вкл, а 2-ой выкл.
1-ый 3-ий вкл, а 3-ый гном выкл.
4-й фонарь : 1-й гном вкл, 2-й гном выкл, 4-й гном снова вкл,а все остальные пройдут мимо
6-й фонарь : 1-й гном вкл, 2-й выкл, 3-й снова вкл, 6-й снова выкл.
8-й: 1,2,4,8 ( номера гномов, касавшихся выключателя ) – в конце не горит
9-й 1,3,9 – горит в конце и т.д.
56-й фонарь : 1 вкл, 2 выкл, 4, 7,8,14,28,56 – в конце выкл
34-й 1, 2,17,34 – в конце выкл ( номера гномов, прикасавшихся к выключателю )
23-й 1,23 – в конце вык ( номера гномов, прикасавшихся к выключателю )
89-й 1,89 – в конце выкл ( номера гномов, прикасавшихся к выключателю )
99-й 1,3,9,33,99 – в конце выкл ( номера гномов, прикасавшихся к выключателю)
Получаем фонари, которые в конце останутся гореть :
1,4, 9, 16, 25, 36,49, 64,81,100
Все числа – квадраты натуральных чисел
ответ : 1,4, 9, 16, 25, 36,49, 64,81,100