Вопрос от посетителя:
Блондинка хочет обойти все модные магазины центральной части Милана ,начав обход с вокзала (точка B) и закончив в своём отеле (точка о).Для этого ей нужно пройти как можно больше число кварталов (квартал на плане представляет собой отрезок между двумя соседними перекрёстками),но на каждом перекрёстке онаможет оказаться не более одного раза,иначе она запутается и в отель не попадёт (даже если дважды окажется на перекрёстке,где расположен отель).Какое максимальной число кварталов сможет она пройти при условии,что рассматривать покупки она собирается в отеле? Tам рисунок ещо есть большой квадрат и в нем 25 маленьких квадратов ,а точки O и B расположены в среднем квадрате точка O в правом верхнем углу этого квадрата а точка B в левом нижнем углу.
Илюха отвечает:
По всей видимости, максимальная протяжённость маршрута составит 34 улицы. Число пройденных улиц равно числу перекрёстков, которые удалось посетить, минус один (поскольку начальную точку мы “посетили” изначально, не пройдя ещё ни одной улицы). На один перекрёсток зайти так и не получится: к каждому пройденному перекрёстку подходит 2 улицы, по которым надо пройти. В нашем случае непройденным остался один перекрёсток, и к нему нельзя подойти, не пройдя дважды по другим перекрёсткам.
Докажем теперь, что в данном случае один перекрёсток останется не пройденным.
Перекрёстки условно можно раскрасить в шахматном порядке в белый и чёрный цвет. Каждая улица соединяет два перекрёстка: один “черный”, а другой – “белый”. На нашей карте всего 36 перекрёстков, по 18 каждого “цвета”. Причём два перекрёстка являются начальной и конечной точками пути, а остальные 34 ещё надо посетить. Однако, расположение начальной и конечной точек пути таково, что обе этих точки имеют одинаковый цвет. Это означает, что среди оставшихся перекрёстков будет 16 перекрёстков одного цвета и 18 другого.
Но ведь, чтобы пройти маршрут от О к В, надо построить такую последовательность точек, чтобы в ней чередовались цвета (черный-белый-черный и так далее). Имея в распоряжении 16 точек одного цвета и 18 другого, нельзя построить такую последовательность: из 18 точек одна останется лишней. Это и есть тот перекрёсток, на который не удастся зайти.
И, кстати, “цвет” этого оставшегося перекрёстка – не такой как у точек начала и конца, что видно на рисунке. Это будет справедливо и для любого другого маршрута с нашими начальными условиями.
Пройти по улицам, зайдя на все перекрёстки, можно будет лишь при таком расположении начала и конца, при котором эти точки окажутся разных “цветов”. Или, что то же самое, если расстояние от начальной до конечной точки будет составлять нечётное число улиц.