Вопрос пользователя:
биссектрисы углов a и b при боковой стороне ab трапеции abcd пересекаются в точке f. биссектрисы углов c и d при боковой стороне cd пересекаются в точке g. найдите fg, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны-13 и 15. пожалуйста помогите, срочно надо!
Илюха отвечает:
я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый.
Точки пересечения биссектрис – это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры – ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы “ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ”, а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ 21-14=7. :)))
(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности – пояснение такое :))).
Еще вариант решения, по сути – такой же
Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это – центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая – правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z – искомое расстояние. И есть 3 соотношения.
z+x+y = b;
z+(13-x)+(15-y) = a;
(a + b)/2 = 21
Складываем и делим на 2.
z = 7
Еще вариант решения – проводим специальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть – с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (13 – z) и (15 – z), где z – ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее – см. начало :)))