Биссектрисы углов А иВ при боковой стороне АВ трапеции АВСД пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и Д при боковой стороне СД пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны – 13 и 15

Вопрос пользователя:

Биссектрисы углов А иВ при боковой стороне АВ трапеции АВСД пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и Д при боковой стороне СД пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны – 13 и 15

Илюха отвечает:

я тут уже решал подобную задачу.

Точки пересечения биссектрис – это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры – ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы “ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ”, а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ 21-14=7. :)))

 

(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности – пояснение такое :))). 

 

Еще вариант решения, по сути – такой же

 Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это – центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая – правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z – искомое расстояние. И есть 3 соотношения.

 

z+x+y = b;

z+(13-x)+(15-y) = a;

(a + b)/2 = 21

 

Складываем и делим на 2.

 

z = 7