Вопрос от посетителя
биссектрисы острых углов равнобедренной трапеции пересекаются в точке лежащей на меньшем основании.Большее основание равно 16, а боковая сторона 6. Найти среднюю линию трапеции??
Отвечает Илюха:
не паникуйте, количество ? можно и одним ограничить :)))
из точки пересечения биссектрис (на верхнем основании) и из вершины малого основания опустим высоты на большое основание, угол при основании обозначим Ф.
Тогда
h = (16/2)*tg(Ф/2);
h = 6*sin(Ф);
Поэтому 6*sin(Ф) = 8*tg(Ф/2); дальше сплошная тригонометрия. :)))
12*sin(Ф/2)*cos(Ф/2) = 8*sin(Ф/2)/cos(Ф/2);
(cos(Ф/2))^2 = 2/3; Поэтому cos(Ф) = 2*(2/3) – 1 = 1/3;
На самом деле уже все решено, потому что
(а – b)/2 = 6*cos(Ф); а и b -основания,а = 16; Отсюда b = 12, а средняя линяя 14.
Поскольку поступила просьба решить без тригонометрии, дополню решение вторым :))) Смотрите чертеж, там все надписано, одна высота из точки пересечения биссектрис, другая из вершины малого основания.
По свойству биссектрисы
(h – x)/x = c/y;
Из подобия треугольников
x/y = h/(a/2) = 2*h/a; выражаем отсюда x, подставляем в первое равенство
(h – (2*h/a)*y)/((2*h/a)*y)= c/y;
Откуда y = a/2 – c; очень простой ответ.
Итак, у = 8 – 6 = 2, как и в первом решении, y = (а – b)/2, b = 12,
Средняя линяя = 14
ООО!!! Я совсем простое решение нашел, смотри второй рисунок.
Это нарисована та часть трапеции, которая важна для решения.
ОС II MD. OD – биссектриса угла МDC, она РАВНОУДАЛЕНА от сторон угла. 🙂
Из точки О опускаем перпендикуляр на продолжение CD.
ОК = ОМ. Но ОМ = СН.
угол ОСК = угол MDC (соответственные углы при параллельных и секущей).
Поэтому прямоугольные треугольники OKC и CHD РАВНЫ (по катету и острому углу). Поэтому CК = DH. (!!!!!!!)
Но DK = MD = a/2, откуда DH = а/2 – с; симпатично получилось:)))) дальше все раньше описано как делать, DH = 2, b = 12, средняя линяя (16+12)/2 = 14