Вопрос от посетителя
Апофема правильной 4-угольной пирамиды 2а см. Высота пирамиды равна а корень из 3. Найдите: а)сторону основания пирамиды; б)угол между боковой гранью и основанием; в)S поверхности пирамиды; г)расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани
Отвечает Илюха:
Строим сечение через высоту пирамиды и апофему одной из граней. Получился равнобедренный треугольник с высотой а*корень(3) и боковой стороной 2*а.
Легко видеть, что sin(Ф) = корень(3)/2, то есть Ф = 60 градусов. Ф – угол при основании этого треугольника.
По смыслу построения сечения его плоскость перпендикулярна стороне основания, которую пересекает, потому что и апофема и высота пирамиды перпендикулярны этой стороне. Значит мы получили двугранный угол между боковой гранью и основанием. (У нас в сечении вообще равносторонний треугольник, вот радость-то:))
Далее, сторона основания равна = 2*а (ну, раз равносторонний…), поскольку в основании квадрат, и “нижняя” сторона сечения равна стороне основания.
А вот боковые грани у нас получились равнобедренными треугольниками, у которых основание равно высоте. Поэтому они прямоугольные :)) (для решения это не пригодится, просто поможет понять формулу площади)
Площадь поверхности пирамиды S = a^2 + 4*(2a)*(2*a)/2 = 9*a^2;
Искомое в пунте г) расстояние равно а*sin(60) = a*корень(3)/2.
Если не понятно, откуда это взялось – просто проведите в равностороннем треугольнике со стороной 2*а (каковым является построенное сечение, если вы не забыли) перпендикуляр из середины боковой стороны на другую боковую сторону.
Это и есть искомое расстояние. Это отрезок перпендикулярен боковой грани, потому что перпендикулярен 2 прямым в её плоскости – стороне основания (которую пересекает плоскость сечения), и апофеме – по построению :)) его длину я уже написал. Все :))