Вопрос для Илюхи:
Апофема правильной 4х угольной пирамиды 6см,высота пирамиды равна 3 корня из 2 см.Найти:а)сторону основания пирамиды
б)угол между боковой гранью и плоскостью основания
в)угол,образованный боковым ребром и плоскостью основания
г)площадь боковой поверхности
д)площадь полной поверхности
Илюха-Отвечает:
Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
———
Апофема МН -высота боковой грани ⇒ МН⊥ стороне основания.
По т. о 3-х перпендикулярах её проекция ОН ⊥ АД и потому ОН параллельна АВ и равна её половине. ⇒ АВ=2 ОН
а) По т.Пифагора ОН=√(МН*-МО*)=√(36-18)=3√2
АВ=2•3√2=6√2 см
б) Угол между двумя плоскостями – угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к одной точке на линии их пересечения. Т.к. ОН=ОМ, прямоугольный ∆ МОН – равнобедренный. Углы при МН=90°:2=45° Искомый ∠МНО=45°.
в) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью АВСД - ∠МВО, тангенс которого МО:ОВ.
ВД – диагональ квадрата и равна АВ•√2=6√2•√2=12, откуда ВО=6
tg ∠MOB=(3√2)/6=√2/2 или иначе ≈0.7071067811865475 По тангенсу с помощью инженерного калькулятора (или по т.Брадиса) находим ∠MOB ≈35,264°
г) Площадь боковой поверхности равна половине произведения апофемы на периметр основания.
Sбок=0,5•4•6•6√2=72√2 см²
д) Площадь всей поверхности пирамиды – сумма площадей боковой поверхности и основания.
Sосн= (6√2)²=72 см²
S полн= 72√2+72=72•(√2+1)≈173,823 см²