Вопрос пользователя:
Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.
Илюха отвечает:
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле . То есть, сторона каждого последующего треугольника – это сторона предыдущего, умноженная на постоянный множитель . То есть сторона n-го треугольника будет равна left(frac{sqrt3}2right)^{n-1}" title="aleft(frac{sqrt3}2right)^{n-1}" alt="aleft(frac{sqrt3}2right)^{n-1}" />. Периметр же n-го треугольника равен .
Имеем геометрическую прогрессию относительно периметров: первый её член равен 8*3=24, знаменатель прогрессии - .
Периметр шестого треугольника:
см.