Вопрос пользователя:
стороны АС АВ ВС треугольника АВС равны 2 корня из 3, корень из7 и 1 соответственно. точка К расположена вне треугольника АВС причем отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если угол КАС>90градусов
Илюха отвечает:
AC = 2√3; AB=√7; BC=1; ΔKAC~ΔABC; ∠KAC > 90°
ΔKAC~ΔABC; ∠KAC > 90° ⇒ против тупого угла в ΔKAC лежит самая большая сторона CK, а в подобном ему ΔABC самая большая сторона AC=2√3 ⇒ ∠ABC = ∠ KAC > 90°
∠KCA не может быть равен ∠ACB по построению ⇒
∠KCA = ∠BAC; ∠AKC = ∠ACB ⇒
cos∠AKC = cos∠ACB
Теорема косинусов для ΔABC
AB² = AC² + CB² – 2AC*CB*cos∠ACB
√7² = (2√3)² + 1² – 2*2√3*1*cos∠ACB
7 = 13 – 4√3*cos∠ACB
4√3*cos∠ACB = 6
cos∠ACB = 6/(4√3)
cos∠ACB = √3/2 – табличный косинус ∠ACB=30°
Ответ: cos∠AKC = √3/2; ∠AKC = 30°